Question

【题目】已知函数为自然对数的底数．

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）关于的不等式在上恒成立，求实数的值；

（3）关于的方程有两个实根，求证： ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）； （3）见解析．

【解析】（1）对函数求导得，

∴，

又，

∴曲线在处的切线方程为，即；

（2）记，其中，

由题意知在上恒成立，下求函数的最小值，

对求导得，

令，得，

当变化时， 变化情况列表如下：

	-	0	+
		极小值

∴，

∴，

记，则，

令，得．

当变化时， 变化情况列表如下：

		1
	+	0	-
		极大值

∴，

故当且仅当时取等号，

又，从而得到；

（3）先证，

记，则，

令，得，

当变化时， 变化情况列表如下：

	-	0	+
		极小值

∴，

恒成立，即，

记直线分别与交于，

不妨设，则，

从而，当且仅当时取等号，

由（2）知， ，则，

从而，当且仅当时取等号，

故，

因等号成立的条件不能同时满足，故．