Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
（1）证明：MN∥平面PAB；
（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：取BC中点E，连结EN，EM，

∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线，

∴NE∥PB，

又∵AD∥BC，∴BE∥AD，

∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，

∴BE= BC=AM=2，

∴四边形ABEM是平行四边形，

∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，

∵MN平面NEM，∴MN∥平面PAB

（2）

解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC= ，得CM2=AC2+AM2﹣2ACAMcos∠MAC=9+4- =5．

∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，

∵PA⊥底面ABCD，PA平面PAD，

∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，

∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．

在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．

在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN= ，

在Rt△PAM中，由PAAM=PMAF，得AF= ，

∴ ．

∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为

【解析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG= BC，再由已知得AM∥BC，且AM= BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；
法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；
（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．