Question

【题目】已知抛物线的焦点为，其上一点在准线上的射影为，△恰为一个边长为4的等边三角形．

（1）求抛物线的方程；

（2）若过定点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点）的面积为，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或．

【解析】

（1）求得抛物线的焦点坐标和准线方程，设准线与轴的交点为，可得，由等边三角形和直角三角形的性质可得，进而得到所求抛物线的方程；

（2）设过定点的直线的方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及三角形的面积公式，解方程可得，进而得到所求直线方程．

（1）抛物线的焦点为，，准线方程为，

设准线与轴的交点为，可得，

△为一个边长为4的等边三角形，可得，，

在直角三角形中，，即，

则抛物线的方程为；

（2）设过定点的直线的方程为，

代入抛物线方程，可得，△，

设，，，，则，，

由

，

解得，

则直线的方程为或．