Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为．

（Ⅰ）求的普通方程和的直角坐标方程；

（Ⅱ）过曲线上任一点作与夹角为45°的直线，交于点，求的最大值与最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为；（Ⅱ）最大值为12，最小值为4.

【解析】

（Ⅰ）根据解方程组的知识，将参数t消去，便可得到的普通方程；对的极坐标方程为利用三角变换展开可得，两边同时乘以，进而可得直角坐标方程；

（Ⅱ）因为两直线的夹角为45°，设到的距离为，故的长度等于，要求的最值，求出的最值即可.

（Ⅰ）由∴的普通方程为，

由，

可得，

∴，

∴，

即，

此即的直角坐标方程．

（Ⅱ）在曲线上任意取一点

则到的距离为 ，

则，

即当时，|PA|取最大值为12；

当时，|PA|取最小值为4.