Question

【题目】如图, 四棱锥中, 平面平面,为线段上一点,为的中点．

（1）证明: 平面；

（2）求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）连接,设,可证四边形为平行四边形，得是的中点,利用三角形中位线定理可得进而由线面平行的判定定理可得结论；（2）先证平面，分别以所在直线为轴, 轴, 为轴正方向,空间直角坐标系,分别求出平面和平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得二面角的余弦值，进而得结果．

试题解析：（1）证明: 连接,设,连接,四边形为平行四边形, 且是的中点, 又为的中点, 平面平面平面．

（2）取的中点,连接,由得平面平面,平面平面平面,在中,, 在等腰中,, 以为坐标原点, 分别以所在直线为轴, 轴, 为轴正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系,由题知,

设是平面的法向量, 则,即．

设是平面的法向量, 则,即得．

,二面角的正弦值为．