Question

【题目】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a，

(1)求证：PD⊥平面ABCD；

(2)求证：平面PAC⊥平面PBD；

(3)求二面角P－AC－D的正切值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】(1)证明：∵PD＝a，DC＝a，PC＝a，∴PC2＝PD2＋DC2，

∴PD⊥DC．同理，PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD．

(2)证明：由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，又四边形ABCD是正

方形，∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PDB．又AC平面PAC，

∴平面PAC⊥平面PBD．

(3)设AC∩BD＝O，连接PO.由PA＝PC，知PO⊥AC．又DO⊥AC，故∠POD为二面角P－AC－D的平面角．易知OD＝.

在Rt△PDO中，tan∠POD＝.