【题目】已知函数满足，定义数列， ， ，数列的前项和为， ，且．

（1） 求数列、的通项公式；

（2）令，求的前项和；

（3）数列中是否存在三项使成等差数列，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。

参考答案：

【答案】(1) ,;(2) ;(3)见解析.

【解析】试题分析：

(1)结合题意中的递推关系可得,；

(2)结合(1)的结论错位相减可得；

(3)假设存在满足题意的，结合题意讨论可得矛盾，假设不成立，即不存在任三项能构成等差数列．

试题解析：

（1）由题意知： ， 又

是以1为首项，2为公比的等比数列，故，

由， 可得：

是等差数列， ,当时， 满足上式，

（2），

……①

两边同乘公比得， ……②

①②得化简得： .

（3）假设存在使成等差数列，

则， ，两边同除，得，

为偶数，而为奇数，因左边为偶数，右边为奇数，矛盾．

∴假设不成立，故不存在任三项能构成等差数列．

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