Question

【题目】如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，FB=FC，∠BFC=90°，AE= ．
（1）求证：AB⊥平面BCF；
（2）求直线AE与平面BDE所成角的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取AB的中点M，连接EM，则AM=MB=1，

∵EF∥平面ABCD，EF平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，

∴EF∥AB，即EF∥MB．

∵EF=MB=1

∴四边形EMBF是平行四边形．

∴EM∥FB，EM=FB．

在Rt△BFC中，FB2+FC2=BC2=4，又FB=FC，得FB= ．

∴EM= ．

在△AEM中，AE= ，AM=1，EM= ，

∴AM2+EM2=3=AE2，

∴AM⊥EM．

∴AM⊥FB，即AB⊥FB．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB⊥BC．

∵FB∩BC=B，FB平面BCF，BC平面BCF，

∴AB⊥平面BCF．

（2）解：连接AC，AC与BD相交于点O，则点O是AC的中点，

取BC的中点H，连接OH，EO，FH，

则OH∥AB，OH= AB=1．

由（1）知EF∥AB，且EF= AB，

∴EF∥OH，且EF=OH．

∴四边形EOHF是平行四边形．

∴E0∥FH，且EO=FH=1．

由（1）知AB⊥平面BCF，又FH平面BCF，

∴FH⊥AB，

∵FH⊥BC，AB∩BC=B，FH平面ABCD，BC平面ABCD，

∴FH⊥平面ABCD．

∴E0⊥平面ABCD．

∵AO平面ABCD，

∴EO⊥AO．

∵AO⊥BD，EO∩BD=O，EO平面EBD，BD平面EBD，

∴AO⊥平面EBD．

∴∠AEO是直线AE与平面BDE所成的角．

在Rt△AOE中，tan∠AEO= = ．

∴直线AE与平面BDE所成角的正切值为 ．

【解析】（1）先证明出四边形EMBF是平行四边形，推断出EM∥FB，EM=FB．进而在Rt△BFC中求得EM，在△AEM中，根据边长推断出AM2+EM2=3=AE2 ， 进而证明出AM⊥EM．然后证明出四边形ABCD是正方形，进而推断出AB⊥BC．最后通过线面垂直的判定定理证明出AB⊥平面BCF．（2）先证明出∠AEO是直线AE与平面BDE所成的角，进而在Rt△AOE中，求得tan∠AEO．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则即可以解答此题．