Question

【题目】已知函数f（x）=ax2+x﹣lnx，（a＞0）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设f（x）极值点为x0 ， 若存在x1 ， x2∈（0，+∞），且x1≠x2 ， 使f（x1）=f（x2），求证：x1+x2＞2x0 ．

Answer 1

【答案】解：（ I）f（x）定义域为（0，+∞）， f′（x）= ，
∵a＞0，∴方程f′（x）=0有两个实根x1= ＜0，x2= ＞0，
当x∈（0，x2）时，f′（x）＜0，当x∈（x2 ， +∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调增区间为：（ ，+∞）减区间为（0， ）
（ II）要证x1+x2＞2x0 ， 需证 ．
由（ I）知， ，f′（x）=2ax+1﹣ 在（0，+∞）上单调递增，
∴只需证f′（ ）>0
不妨设x2＞x1＞0
由已知得 = ，=[a（x2+x1）+1]（x2﹣x1）﹣（lnx2﹣lnx1）=0
∴
∵
∴
法1： =
令
∴ ，∴g（x）在（0，x2）单调递减，
∴g（x1）＞g（x2）=0，
又 ，∴ 成立．∴结论成立．
法2：f′（ ）= ．
设 ， ．∵ ，
∴g（t）在（1，+∞）上是增函数，∴g（t）＞g（1）=0，
即 ，
又∵ ，∴f′（ ）＞0成立．
∴结论成立
【解析】（Ⅰ）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，在定义域下令导函数大于0得到函数的递增区间．即可求出单调减区间．（Ⅱ）要证x1+x2＞2x0 ， 需证 ．由（ I）知， ，f′（x）=2ax+1﹣ 在（0，+∞）上单调递增，只需证f′（ ）>0．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．