Question

【题目】设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋1－3Sn＝1.

(1) 求证：数列{an}为等比数列；

(2) 数列{an}是否存在一项ak，使得ak恰好可以表示为该数列中连续r(r∈N*，r≥2)项的和？请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) 见解析. (2) 见解析.

【解析】试题分析：(1)由 可得 ，两式相减化简可得数列{an}为等比数列；(2)假设数列 中存在一项恰好可以表示为该数列中连续项的和，利用等比数列求和化简后，导出矛盾即可得结论.

试题解析：(1)∵ Sn＋1－3Sn＝1，∴ n≥2时Sn－3Sn－1＝1，两式相减得an＋1－3an＝0，即an＋1＝3an(n≥2)．

又a1＝1，S2－3S1＝1，∴ a2＝3，∴ n＝1时an＋1＝3an也成立．

∴ n∈N*时＝3，数列{an}为等比数列．

(2) 解：由(1)知an＝3n－1，若数列{an}中存在一项ak，使得ak＝am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋r－1(m∈N*)．(2)

∵ an＝3n－1，∴ {an}为递增数列．

∴ ak＞am＋r－1，即3k－1＞3m＋r－2，k＞m＋r－1，k≥m＋r.

又am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋r－1＝＜≤＜3k－1＝ak与ak＝am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋r－1相矛盾．

∴ 数列{an}不存在一项ak，使得ak恰好可以表示为该数列中连续r(r∈N*，r≥2)项的和．