Question

【题目】在公差不为零的等差数列{an}中，已知a1＝1，且a1，a2，a5依次成等比数列．数列{bn}满足bn＋1＝2bn－1，且b1＝3.

(1)求{an}，{bn}的通项公式；

(2)设数列的前n项和为Sn，试比较Sn与1－的大小．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】(1)设数列{an}的公差为d.

因为a1＝1，且a1，a2，a5依次成等比数列，

所以a＝a1·a5，即(1＋d)2＝1·(1＋4d)，

所以d2－2d＝0，解得d＝2(d＝0不合要求，舍去)．

所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.

因为bn＋1＝2bn－1，所以bn＋1－1＝2(bn－1)．

所以{bn－1}是首项为b1－1＝2，公比为2的等比数列．

所以bn－1＝2×2n－1＝2n.

所以bn＝2n＋1.

(2)因为＝＝－，

所以Sn＝＋＋…＋＝1－，

于是Sn－＝1－－1＋＝－＝.

所以当n＝1,2时，2n＝2n，Sn＝1－；

当n≥3时，2n<2n，Sn<1－.