Question

【题目】设椭圆： 的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若过、、三点的圆恰好与直线： 相切，求椭圆的方程；

（III）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于、两点，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围，如果不存在，说明理由

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】试题分析：（1）设，由，所以，由于，即为的中点，故，即，于是，于是的外接圆圆心为，半径，该圆与直线相切，则，即可得出值，从而可求椭圆的方程；

（2）由（1）可知，设，联立方程组，整理得，写出韦达定理，由于菱形的对角线垂直，故, 即，即，由已知条件知且，所以，即可求出的取值范围.

试题解析：

（1）设，由，

知，因为，所以，

由于，即为的中点，

故，所以，即，

于是，于是的外接圆圆心为，半径，

该圆与直线相切，则，解得，

所以，所求椭圆的方程为.

（2）由（1）可知，

设，联立方程组，整理得，

设，则，

，

由于菱形的对角线垂直，故,

故，即，

即，

由已知条件知且，

所以，所以，

故存在满足题意的点，且的取值范围是，

当直线的斜率不存在时，不合题意.