Question

【题目】己知四棱锥中， 平面，底面是菱形，且． ， 、的中点分别为， ．

（Ⅰ）求证．

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得平行于平面？若存在，指出在上的位置并给予证明，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（）见解析（）（）是中点．

【解析】试题分析：（1）要证BC⊥PE，要转化为证明BC⊥平面PAE;

（2）以为原点，分别以， ， 为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系,进行计算即可;

（3）设, 利用与平面的一个法向量为垂直，可求得t值，进而得出是中点．

试题解析：

（）证明：连结， ．

∵平面， 平面，

∴．

又∵底面是菱形， ， ，

∴是正三角形．

∵是的中点，

∴．

又∵， 平面， 平面，

∴平面，

∴．

（）由（）得，由可得．

又∵底面，∴， ．

∴以为原点，分别以， ， 为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则， ， ， ， ， ， ．

∵平面，

∴平面的法向量为．

又∵， ．

设平面的一个法向量，则：

，即，令，则， ，

∴．

∴．

∵二面角是锐角，

∴二面角的余弦值为．

（）是线段上的一点，设．

∵，∴．

又∵， ．

设平面的一个法向量为，则：

，即，∴，

∵平面，∴， ，即，

解得．

故线段上存在一点，使得平行于平面， 是中点．