Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．
（1）若曲线y=f（x）过点P（1，﹣1），求曲线y=f（x）在点P的切线方程；
（2）若f（x）≤0恒成立求m的取值范围；
（3）求函数f（x）在区间[1，e]上最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）过点P（1，﹣1），

∴﹣1=ln1﹣m，∴m=1，

∴f（x）=lnx﹣x，

，

f'（1）=0，

∴过点P（1，﹣1）的切线方程为y=﹣1

（2）解：∵f（x）≤0恒成立，

即lnx﹣mx≤0恒成立，

∴mx≥lnx，

又∵f（x）定义域为（0，+∞），

∴ 恒成立；

设 ，

∵ ，

∴当x=e时，g'（e）=0

当0＜x＜e时，g'（x）＞0，g（x）为单调增函数，

当x＞e时，g'（x）＜0，g（x）为单调减函数，

∴ ，

∴当 时，f（x）≤0恒成立

（3）解：∵ ，

①当m≤0时，f'（x）＞0，

∴f（x）在（0，+∞）为单增函数，

∵在x∈[1，e]上，f（x）max=f（e）=1﹣me；

②当 ，即 时，

当 时，f'（x）＞0，f（x）为单增函数，

当 时，f'（x）＜0，f（x）为单减函数，

∴x∈[1，e]上， ；

③当m＞1时，即 在 为单减函数，

∴x∈[1，e]上，f（x）max=f（1）=﹣m；

④当 ，即 时，

f（x）在 为单增函数，

∴x∈[1，e]时，f（x）max=f（e）=1﹣me；

综上所述，

当 时，f（x）max=f（e）=1﹣me，

当 时，

当m＞1时，f（x）max=f（1）=﹣m

【解析】（1）由f（x）过点P（1，﹣1）可得﹣1=ln1﹣m，从而解出m=1，进而求曲线y=f（x）在点P的切线方程；（2）原式可化为lnx﹣mx≤0恒成立，结合x＞0可化为 恒成立，从而化为求 的最大值，利用导数求最值；（3）由 讨论，m的取值，以确定函数函数f（x）在区间[1，e]上的单调性，从而求函数在区间[1，e]上的最大值．
【考点精析】利用函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．