Question

【题目】已知函数满足：对任意，，都有成立，且时，．

（1）求的值，并证明：当时，；

（2）判断的单调性并加以证明；

（3）若函数在上递减，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），证明见解析；（2）在上是增函数，证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）令可求得或，根据时，可排除，设，则，那么，再由可得结论；（2）设，则，∴，可证；（3）若函数在上递减，即时，，根据单调性，，进而.

试题解析：（1）∵，

∴，或．

若，则，

与已知条件时，相矛盾，

所以．

设，则，那么．

又，

∴，

∵，∴，从而．

（2）函数在上是增函数，设，则，∴，

，

∵由（1）可知对任意，，∴，

又，∴，

即，

∴函数在上是增函数．

（3）∵由（2）知函数在上是增函数，

∴函数在上也是增函数，若函数在上递减，

则当时，，即时，，

∵时，，

∴．