Question

【题目】已知函数 （其中ω＞0），若f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为 ．
（1）求y=f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中角A、B、C的对边分别是a，b，c满足（2b﹣a）cosC=ccosA，则f（B）恰是f（x）的最大值，试判断△ABC的形状．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，

= ，

∵f（x）的对称轴离最近的对称中心的距离为 ，

∴T=π，

∴ ，

∴ω=1，

∴ ．

∵ 得： ，

∴函数f（x）单调增区间为 ；

（2）解：∵（2b﹣a）cosC=ccosA，由正弦定理，

得（2sinB﹣sinA）cosC=sinCcosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C），

∵sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB＞0，2sinBcosC=sinB，

∴sinB（2cosC﹣1）=0，

∴ ，

∵0＜C＜π，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

∴ ，

根据正弦函数的图象可以看出，f（B）无最小值，有最大值ymax=1，

此时 ，即 ，

∴ ，

∴△ABC为等边三角形

【解析】﹙1﹚由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2ωx﹣ ），由题意可得周期T=π，可得ω=1，进而可得f（x）=sin（2x﹣ ），根据正弦函数的图象和性质即可求出单调增区间；（2）由由正弦定理以及角的和差公式，求出 ，即C= ，根据正弦函数的性质，求出 ，即△ABC为等边三角形．
【考点精析】通过灵活运用正弦定理的定义，掌握正弦定理:即可以解答此题．