Question

【题目】已知函数f（x）=alnx+bx（a，b∈R）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y﹣2=0．
（1）求a，b的值；
（2）当x＞1时，f（x）+ ＜0恒成立，求实数k的取值范围；
（3）证明：当n∈N* ， 且n≥2时， + +…+ ＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=alnx+bx，∴f′（x）= +b．

∵直线x﹣2y﹣2=0的斜率为0.5，且过点（1，﹣0.5），

∴f（1）=﹣0.5，f′（1）=0.5

解得a=1，b=﹣0.5

（2）解：由（1）得f（x）=lnx﹣0.5x．

当x＞1时，f（x）+ ＜0恒成立，等价于k＜0.5x2﹣xlnx．

令g（x）=0.5x2﹣xlnx，则g′（x）=x﹣1﹣lnx．

令h（x）=x﹣1﹣lnx，则h′（x）= ．

当x＞1时，h′（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，

故h（x）＞h（1）=0

从而，当x＞1时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，

故g（x）＞g（1）=0.5

∴k≤0.5

（3）证明：由（2）得，当x＞1时，lnx﹣0.5x+ ＜0，可化为xlnx＜ ，

又xlnx＞0，

从而， ＞ = ﹣ ．

把x=2，…n分别代入上面不等式，并相加得，

+ +…+ ＞1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ =1+ ﹣ ﹣ =

【解析】（1）利用函数在点（1，f（1））处的导数值即曲线的斜率及点在曲线上求得a，b的值；（2）当x＞1时，f（x）+ ＜0恒成立，等价于k＜0.5x2﹣xlnx，构造函数，求最值，即可求实数k的取值范围；（3）证明 ＞ = ﹣ ，把x=1，2，…n分别代入上面不等式，并相加得结论．
【考点精析】利用函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．