Question

【题目】已知点是圆： 上任意一点，点与圆心关于原点对称.线段的中垂线与交于点.

（1）求动点的轨迹方程；

（2）设点，若直线轴且与曲线交于另一点，直线与直线交于点，证明：点恒在曲线上，并求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）见解析.

【解析】试题分析：⑴根据题目条件并结合椭圆定义，即可求得动点的轨迹方程；

⑵设点坐标为，则点的坐标为，进而表示出直线与直线

交于点的坐标，即可证明点恒在椭圆上，设直线： ， ， ，联立直线方程和椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得到，代入三角形的面积公式，可得，利用换元法，即可求得面积的最大值。

解析：（1）由题意得， 点坐标为，因为为中垂线上的点，所以，

又，所以，

由椭圆的定义知， ， .

所以动点的轨迹方程： .

（2）证明：设点坐标为，则点的坐标为，且，

所以直线： ，即，

直线： ，即；

联立方程组，解得， ，则

.

所以点恒在椭圆上.

设直线： ， ， ，

则由，消去整理得，

所以， ，

所以

，

从而

，

令，则函数在上单调递增，

故，所以，

即当时， 面积取得最大值，且最大值为.