Question

【题目】已知函数（）.

（1）若函数有零点，求实数的取值范围；

（2）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）题意等价于关于的方程有正根，设，根据二次函数的性质，对二次项系数进行讨论，分为，和三种情形进行讨论；（2）原题意等价于，分为和时，结合二次函数的性质求结果.

试题解析：（1）由函数有零点得：关于的方程（）有解

令，则于是有，关于的方程有正根

设，则函数的图象恒过点且对称轴为

当时，的图象开口向下，故恰有一正数解

当时，，不合题意

当时，的图象开口向上，故有正数解的条件是

解得：

综上可知，实数的取值范围为.

（2）“对任意都有”即，②

∵，故②变形为：③

又当时，恒有，

故当时，，故不等式③恒成立

当时， ，当且仅当时取等号

∴，解得，综上可知，实数的取值范围.