Question

（本小题满分14分）设二次函数满足下列条件：
①当∈R时，的最小值为0，且f (－1)=f(－－1)成立；
②当∈(0,5)时，≤≤2+1恒成立。
（1）求的值；    
（2）求的解析式；
（3）求最大的实数m(m>1),使得存在实数t,只要当∈时，就有成立。

Answer 1

解： (1)在②中令x=1,有1≤f(1)≤1,故f(1)=1…………………………3分
(2)由①知二次函数的关于直线x=-1对称,且开口向上
故设此二次函数为f(x)=a(x+1)²,(a>0),∵f(1)=1,∴a=
∴f(x)= (x+1)²                       …………………………7分
(3)假设存在t∈R,只需x∈[1,m],就有f(x+t)≤x.
f(x+t)≤x(x+t+1)²≤xx²+(2t-2)x+t²+2t+1≤0.
令g(x)=x²+(2t-2)x+t²+2t+1,g(x)≤0,x∈[1,m].

∴m≤1－t+2≤1－(－4)+2=9
t=-4时,对任意的x∈[1,9]
恒有g(x)≤0, ∴m的最大值为9.      ………………………… 14分

解析