Question

【题目】定义在上的函数，若已知其在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为；当，函数取得最小值为．

（1）求出此函数的解析式；

（2）若将函数的图像保持横坐标不变纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为，求满足条件的的最小值；

（3）是否存在实数，满足不等式？若存在，求出的范围（或值），若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）利用最大值和最小值确定和，进而得到；利用可求得的取值，进而得到所求函数解析式；

（2）由图象平移和伸缩变换原则得到，由与函数的单调性可知只有当，同时取得时，函数取最大值，由此可得到，根据得到最终结果；

（3）由偶次根式被开方数大于等于零可确定的范围，进而得到两角整体所处范围，根据函数单调性可得到，解不等式即可求得结果.

（1），

，

，

解得：，，又

（2）由题意知：，

函数与函数均为单调增函数，且，

当且仅当与同时取得才有函数的最大值为

由得：，

又 ，

又 的最小值为

（3）满足，解得：

同理

，

，

由（1）知函数在上递增

若有

只需要：，即成立即可

存在，使成立