Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

（1）求的普通方程和的倾斜角；

（2）设点， 和交于两点，求.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】试题分析：（1）曲线C的参数方程为（α为参数），利用平方关系可得曲线C的普通方程．由直线l的极坐标方程为，展开化为：ρsinθ+ρcosθ=2，利用互化公式可得：直线l的普通方程，利用斜率与倾斜角的关系即可得出．

（2）显然点在直线l上．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是为参数）．将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得到关于t的一元二次方程，此方程的两根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数tA，tB，利用|PA|+|PB|=|tA|+|tB|即可得出．

试题解析：

（Ⅰ）由消去参数α，得，

即C的普通方程为．

由，得ρsinθ+ρcosθ=2，…（*）

将代入（*），化简得，

所以直线l的倾斜角为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为为参数），即为参数），代入并化简，得．

．

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，

则，所以t1＜0，t2＜0，

所以=．