Question

【题目】设函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)．

(1)判断f(x)的单调性；

(2)当f(x)<0在(0，＋∞)上恒成立时，求a的取值范围；

(3)证明：当x∈(0，＋∞)时， (1＋x) <e.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】(1)f′(x)＝－a，函数f(x)＝ln x－ax的定义域为(0，＋∞)，

当a≤0时，f′(x)>0，此时f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

当a>0时，x∈时，f′(x)>0，此时f(x)在上是增函数，x∈时，f′(x)<0，此时f(x)在上是减函数．

综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，当a>0时，f(x)在上是增函数，在上是减函数．

(2)f(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，即a>在(0，＋∞)上恒成立，

设g(x)＝，则g′(x)＝，

当x∈(0，e)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，当x∈(e，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，

故当x＝e时，g(x)取得最大值，

所以a的取值范围是.

(3)证明：要证当x∈(0，＋∞)时， (1＋x) <e，设t＝1＋x，t∈(1，＋∞)，只要证t<et，两边取以e为底数的对数，即ln t<t－1.

由(1)知当a＝1时，f(x)＝ln x－x的最大值为－1，此时x＝1，所以当t∈(1，＋∞)时，ln t－t<－1，

即得ln t<t－1，所以原不等式成立．