Question

【题目】若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为 ．

Answer 1

【答案】1
【解析】解：由正数x，y满足15x﹣y=22，可得y=15x﹣22＞0，则x＞ ，y＞0， 又x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2），
其中y3﹣y2+ y=y（y2﹣y+ ）=y（y﹣ ）2≥0，
即y3﹣y2≥﹣ y，
当且仅当y= 时取得等号，
设f（x）=x3﹣x2 ， f（x）的导数为f′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），
当x= 时，f（x）的导数为 ×（ ﹣2）= ，
可得f（x）在x= 处的切线方程为y= x﹣ ．
由x3﹣x2≥ x﹣ （x﹣ ）2（x+2）≥0，
当x= 时，取得等号．
则x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2）≥ x﹣ ﹣ y≥ ﹣ =1．
当且仅当x= ，y= 时，取得最小值1．
故答案为：1．
由题意可得x＞ ，y＞0，又x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2），求出y3﹣y2≥﹣ y，当且仅当y= 时取得等号，设f（x）=x3﹣x2 ， 求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值．