Question

【题目】已知椭圆C： 的离心率为 ，右焦点为F，点B（0，1）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点 的直线交椭圆C于M，N两点，交直线x=2于点P，设 ， ，求证：λ+μ为定值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由点B（0，1）在椭圆C： 上，则 ，即b=1．
又椭圆C的离心率为 ，则 ，
由a2=b2+c2 ， 得 ．
∴椭圆C的方程为
（Ⅱ）证明：由已知得F（1，0），直线MN的斜率存在．
设直线MN的方程为y=k（x﹣1），M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），则P（2，k）．
由 ， ，得 ，
∴ ，．
联立 得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．
∴ ， ．
∴ = =0，
∴λ+μ=0为定值
【解析】（Ⅰ）由题意b=1，利用椭圆的离心率即可求得a的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）设直线MN的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可证明λ+μ=0为定值．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．