Question

【题目】如图，四边形为正方形， 平面， ， .试结合向量法：（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：首先根据题意以为坐标原点，线段的长为单位长，射线为轴正半轴建立空间直角坐标系；（1）根据坐标系，求出、、的坐标，由向量积的运算易得， ，进而可得， ，由面面垂直的判定，即可证明；（2）依题意结合坐标系，可得、、的坐标，进而求出平面与平面的法向量，根据二面角与其法向量夹角的关系，即可得答案.

试题解析：如图，以为坐标原点，线段的长为单位长，射线为轴正半轴建立空间直角坐标系.

（1）证明：依题意有， ， ，则， ， .

∴， ，即， .

∴平面

又∵平面，

∴平面平面

（2）依题意有， ，

设是平面的法向量，则

，即

∴可取

设是平面的法向量，则

可取

∴，则二面角的余弦值为