Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，AD的中点，连接BM，MN，BN．

（1）求证：BM=MN；
（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，

∴MN∥AD，MN= AD，

在RT△ABC中，∵M是AC中点，

∴BM= AC，

∵AC=AD，

∴MN=BM．

（2）

解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC=30°，

由（1）可知，BM= AC=AM=MC，

∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，

∵MN∥AD，

∴∠NMC=∠DAC=30°，

∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，

∴BN2=BM2+MN2，

由（1）可知MN=BM= AC=1，

∴BN=

【解析】（1）根据三角形中位线定理得MN= AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM= AC，由此即可证明．（2）首先证明∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题．
【考点精析】利用直角三角形斜边上的中线和勾股定理的概念对题目进行判断即可得到答案，需要熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．