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【题目】已知函数
，求证：
（1）
在区间
存在唯一极大值点；
（2）在
上有且仅有2个零点.
参考答案：
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
（1）首先求出函数的导数
，设
，对
求导，说明其单调性，再根据零点存在性定理可得在
有唯一零点，从而得证；
（2）结合（1）的单调性利用零点存在性定理证明
上有两个零点，当
时无零点.
解：（1）因为
，所以
，
设，则
，则当
时，
，
所以即在单调递减，
又
，
，且图像是不间断的，
由零点存在性定理可得在有唯一零点，设为
.
则当
时，
；当
时，
.
所以
在
单调递增，在
单调递减，
故在存在唯一极大值点.
（2）因为，所以，
设，则，则当
时，，
所以即在单调递减，
由（1）知，在单调递增，在单调递减.
又
，
，所以
，
又的图像是不间断的，所以存在
，使得
；
又当
时，
，所以在
递减，
因
，又
，又的图像是不间断的，
所以存在
，使得
；
当时，
，
，所以
，从而在
没有零点.
综上，有且仅有2个零点.
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查看答案和解析>>【题目】已知向量
（2sinx，cosx），
（
cosx，2cosx）．（1）若x≠kπ
，k∈Z，且
，求2sin2x﹣cos2x的值；（2）定义函数f（x）
，求函数f（x）的单调递减区间；并求当x∈[0，
]时，函数f（x）的值域． -
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查看答案和解析>>【题目】已知函数
.（1）求函数
的极值；（2）求函数
在区间
上的最大值
. -
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查看答案和解析>>【题目】如图，在底面边长为
、高为
的正六棱柱
展厅内，长为，宽为
的矩形油画
挂在厅内正前方中间.
（1）求证：平面
平面
；（2）当游客
在
上看油画的纵向视角（即
）最大时，求
与油画平面所成的角. -
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查看答案和解析>>【题目】已知奇函数f（x）
，函数g（θ）＝cos2θ+2sinθ
，θ∈[m，
]．m，b∈R．（1）求b的值；
（2）判断函数f（x）在[0，1]上的单调性，并证明；
（3）当x∈[0，1]时，函数g（θ）的最小值恰为f（x）的最大值，求m的取值范围．
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查看答案和解析>>【题目】已知函数y＝f1（x），y＝f2（x），定义函数f（x）
．（1）设函数f1（x）＝x+3，f2（x）＝x2﹣x，求函数y＝f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，g（x）＝mx+2（m∈R），函数h（x）＝f（x）﹣g（x）有三个不同的零点，求实数m的取值范围；
（3）设函数f1（x）＝x2﹣2，f2（x）＝|x﹣a|，函数F（x）＝f1（x）+f2（x），求函数F（x）的最小值．
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查看答案和解析>>【题目】大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速
（单位： 
）与其耗氧量单位数
之间的关系可以表示为函数
，其中
为常数，已知一条鲑鱼在静止时的耗氧量为100个单位；而当它的游速为
时，其耗氧量为2700个单位.（1）求出游速
与其耗氧量单位数
之间的函数解析式；（2）求当一条鲑鱼的游速不高于
时，其耗氧量至多需要多少个单位？
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