Question

【题目】

已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线方程为

l：y＝3x＋1，且当x＝时，y＝f(x)有极值．

(1)求a，b，c的值；

(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】(1) a＝2，b＝－4, c＝5 (2) 最大值为13，最小值为

【解析】试题分析：（1）对函数进行求导，当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，联立得出a，b，c的值(2) 由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5， f′(x)＝3x2＋4x－4. 令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝，研究单调性得出最值.

试题解析：

(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，

得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.

当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，①

当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0，②

由①②，解得a＝2，b＝－4.

由于切点的横坐标为1，所以f(1)＝4. 所以1＋a＋b＋c＝4，得c＝5.

(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5， f′(x)＝3x2＋4x－4.

令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝.

当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：

x	－3	(－3，－2)	－2				1
f′(x)		＋	0	－	0	＋
f(x)	8		13				4

所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.