Question

【题目】已知函数是定义域为的奇函数.

（1）求实数的值并判断函数的单调性；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）.

【解析】分析：（1）由奇函数可得，解得，经检验，当时，函数为奇函数；设且，利用指数函数的性质可证明，从而可得结果；（2）结合函数的单调性与奇偶性可得，当时，不等式恒成立，等价于对恒成立，换元后，利用二次函数的性质列不等式组求解即可.

详解：（1）解法一：∵函数是定义域为的奇函数，

∴，解得.

经检验，当时，函数为奇函数，即所求实数的值为.

∵ ，

在上恒成立，所以是上的减函数.

解法二：∵函数是定义域为的奇函数，

∴，解得.

经检验，当时，函数为奇函数，即所求实数的值为.

设且，

则

，

∵，∴，，

∴，即，

所以是上的减函数.

（2）由，可得.

∵是上的奇函数，∴，

又是上的减函数，

所以对恒成立，

令，∵，∴，

∴对恒成立，

令，，

∴，解得，

所以实数的取值范围为.