Question

【题目】选修：不等式选讲

已知函数f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|．

（Ⅰ）求不等式f（x）＜8的解集；

（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|3m+1|有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）m≤﹣或m≥1．

【解析】试题分析：（Ⅰ）分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果；（Ⅱ）原不等式等价于f（x）min≤|3m+1|，求出的最小值，解关于的不等式，即可得结果.

试题解析：解：（Ⅰ）不等式f（x）＜8，即|2x+3|+|2x﹣1|＜8，

可化为①或②或③，…

解①得﹣＜x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x＜，

综合得原不等式的解集为{x|-}．

（Ⅱ）因为∵f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|≥|（2x+3）﹣（2x﹣1）|=4，

当且仅当﹣≤x≤时，等号成立，即f（x）min=4，…

又不等式f（x）≤|3m+1|有解，则|3m+1|≥4，解得：m≤﹣或m≥1．