Question

【题目】已知关于x的函数y= （t∈R）的定义域为D，存在区间[a，b]D，f（x）的值域也是[a，b]．当t变化时，b﹣a的最大值= ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：关于x的函数y=f（x）= =（1﹣t）﹣ 的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
且函数在（﹣∞，0）、（0，+∞）上都是增函数．
故有a=f（a），且b=f（b），即 a= ，b= ．
即 a2+（t﹣1）a+t2=0，且 b2+（t﹣1）b+t2=0，
故a、b是方程x2+（t﹣1）x+t2=0的两个同号的实数根．
由判别式大于0，容易求得t∈（﹣1， ）．
而当t=0时，函数为y=1，不满足条件，故t∈（﹣1， ）且t≠0．
由韦达定理可得b﹣a= = ，故当t=﹣ 时，b﹣a取得最大值为 ，
故答案为： ．
由函数的单调性可得a=f（a），且b=f（b），故a、b是方程x2+（t﹣1）x+t2=0的两个同号的实数根．由判别式大于0，容易求得t∈（﹣1， ）．由韦达定理可得b﹣a= = ，利用二次函数的性质求得b﹣a的最大值．