Question

【题目】已知椭圆的上下两个焦点分别为，过点与轴垂直的直线交椭圆于两点，的面积为，椭圆的长轴长是短轴长的倍.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知为坐标原点，直线与轴交于点，与椭园交于两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围，

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据已知设椭圆的焦距，当时，，由题意得，的面积为，，，解得即可；

（2）设 ，，，分类讨论：当时，利用椭圆的对称性即可得出；时，直线的方程与椭圆的方程联立得到及根与系数的关系，再利用向量相等，代入计算即可得出．

(1)由题意可得 ,则,则，

的面积， ①

椭圆的长轴长是短轴长的倍，

②，

③，

由①②③解得，，

∴椭圆的标准方程.

(2)当时,则，由椭圆的对称性得，即

时,存在实数,使得，

当时,得，

三点共线，，

设,

由，得(，

由已知得,即

且，.

由得,

，

， 显然不成立，

，

,即.

解得或.

综上所述,的取值范围为.