Question

【题目】数列满足递推式

（1）求a1，a2，a3；

（2）若存在一个实数，使得为等差数列，求值;

（3）求数列{}的前n项之和.

Answer 1

【答案】（1）a1=5 a2=23（2）（3）

【解析】

（1）直接利用递推关系式求出数列的各项．

（2）利用等差中项公式求出结果．

（3）利用分组求和、乘公比错位相减法求出数列的和．

（1）数列{an}满足递推公式an=3an﹣1+3n﹣1（n≥2），其中a4=365．

令n=4，则：，解得：a3=95．

令n=3，则：，解得：a2=23．

令n=2，则：，解得：a1=5．

（2）假设存在一个实数λ，使得{}为等差数列，

则：，

由于：a3=95，a2=23，a1=5，

解得：．

故：把递推公式an=3an﹣1+3n﹣1（n≥2），转化为：，

则：数列{}是以为首项，1为公差的等差数列．

则：，

解得：．

（3）由，

转化为：，

令：，所以：数列{bn}的前n项和，

Sn=131+232+…+n3n①，

则：3Sn=132+233+…+n3n+1②，

①﹣②得：，

故：，

令：，数列{cn}的前n项和为Hn

则：Hn==，

所以：数列{an}的前n项和Tn，

=．