Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，椭圆C和抛物线y2=x交于M，N两点，且直线MN恰好通过椭圆C的右焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）经过椭圆C右焦点的直线l和椭圆C交于A，B两点，点P在椭圆上，且 =2 ，其中O为坐标原点，求直线l的斜率．

Answer 1

【答案】
（1）解：由椭圆的离心率e= = ，a= c，

由b2=a2﹣c2，则b=c，

设a=2λ，b=c= λ，λ＞0，

椭圆C和抛物线y2=x交于M，N两点，且直线MN恰好通过椭圆C的右焦点，

∴M（c， ），代入椭圆中得： + =1，即 + =1，解得：λ= ，∴a=2 ，b=c=2，

故椭圆方程为：

（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），则 =（x1，y1）， =（x0﹣x2，y0﹣y2），

由 =2 ，

∴（x1，y1）=2（x0﹣x2，y0﹣y2）

∴ ，

由于A，B，P均在椭圆x2+2y2=8上，

∴ ①， ②， ③；

由③可知： （ ）+（ ）+（x1x2+2y1y2）=8，

将第①②代入上式得：x1x2+2y1y2=﹣2，④

由直线l的斜率不为零，设直线l方为x=my+2，

，整理得：（m2+2）y2+4my﹣4=0，

由韦达定理y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，

将④变形为：（my1+2）（my2+2）+2y1y2=﹣2，

即（m2+2）y1y2+2m（y1+y2）+6=0，

∴2﹣ =0，解得：m2= ，m=± ，

∵直线的斜率k= =± ，

故直线l的斜率为±

【解析】（1）由题意可知：e= 知，即a= c，则b=c，设a=2λ，b=c= λ，λ＞0，将M（c， ），代入，即可求得λ的值，求得椭圆C的标准方程；（2）由题意可知则 =（x1 ， y1）， =（x0﹣x2 ， y0﹣y2）， =2 ，即（x1 ， y1）=2（x0﹣x2 ， y0﹣y2），由于A，B，P均在椭圆x2+2y2=8上，则 ，整理可得：x1x2+2y1y2=﹣2，设直线l方为x=my+2，代入椭圆方程，由韦达定理可知代入可知：2﹣ =0，解得m的值，直线l的斜率为 ．