【题目】已知， ．

（1）求在点处的切线；

（2）讨论的单调性；

（3）当， 时，求证： ．

参考答案：

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）求出原函数的导函数，求出在处的导数值，即为切线斜率，代入直线方程的点斜式求得切线方程；
（2）求出原函数的导函数，可得当时导函数在定义域内大于0恒成立，当a＜0时求出导函数的零点，由零点对函数的定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到函数的单调区间；
（3）令，求其导函数，得到，故， 从而证得答案．

试题解析：

（1），

故在处的切线为．

（2）；

①当时， 恒成立，则在上单调递增，

②当时， 在上单调递减，在上单调递增．

（3）先证明： 时， ，

令，

则时， ， 单调递减，故，

即．

故，

令

则（），

而，

故在上单调递减，在上单调递增，

，

由于，故，

所以在内恒成立，故在内单调递增，

，

所以，

故问题得证．

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