Question

【题目】已知函数f（x）=1+a（ ）x+（ ）x ．
（1）当a=﹣2，x∈[1，2]时，求函数f（x）的最大值与最小值；
（2）若函数f（x）在[1，+∞）上都有﹣2≤f（x）≤3，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：令t=（ ）x，则y=f（x）=1+at+t2，

当a=﹣2，x∈[1，2]时，y=f（x）=1﹣2t+t2，t∈[ ， ]，

当t= ，即x=2时，函数f（x）的最大值为 ，

当t= ，即x=1时，函数f（x）的最小值为

（2）解：若函数f（x）在[1，+∞）上都有﹣2≤f（x）≤3，

则y=1+at+t2，在（0， ]上都有﹣2≤y≤3，

由函数y=1+at+t2的图象是开口朝上，且以直线t= 为对称轴的直线，

故当 ≤0，即a≥0时，1+ a+ ≤3，解得：a∈[0， ]

当0＜ ＜ ，即 ＜a＜0时， ，解得：a∈（ ，0），

当 ≥ ，即a≤ 时，1+ a+ ≥﹣2，解得：a∈[﹣ ， ]

综相可得a∈[﹣ ， ]

【解析】令t=（ ）x ， 则y=f（x）=1+at+t2 ， （1）当a=﹣2，x∈[1，2]时，y=f（x）=1﹣2t+t2 ， t∈[ ， ]，结合二次函数的图象和性质，可得函数f（x）的最大值与最小值；（2）若函数f（x）在[1，+∞）上都有﹣2≤f（x）≤3，y=1+at+t2 ， 在（0， ]上都有﹣2≤y≤3，结合二次函数的图象和性质，可得实数a的取值范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最值及其几何意义(利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值)．