Question

【题目】已知定义域为R的函数f（x）= 满足f（0）=0．
（1）求a，f（﹣2）的值，判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）判断该函数在R上的单调性（不要求证明），解不等式f（x2+x）＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）= 且f（0）=0，

∴ ，解得a=2．

∴ ，则 ．

∵ = =﹣f（x），

∴f（x）为定义域内的奇函数；

（2）解： ．

f（x）为实数集上的增函数，

由f（x2+x）＜ ，得f（x2+x）＜ =f（2），

∴x2+x＜2，解得﹣2＜x＜1．

∴不等式f（x2+x）＜ 的解集为（﹣2，1）

【解析】（1）直接由f（0）=0求得a的值，得到函数解析式，求得f（﹣2）的值，再由函数奇偶性的判定方法判断奇偶性；（2）由函数解析式 可判断函数为实数集上的增函数，把 用f（2）代替后利用单调性转化为二次不等式求解．
【考点精析】关于本题考查的函数的奇偶性和指、对数不等式的解法，需要了解偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称；指数不等式的解法规律：根据指数函数的性质转化;对数不等式的解法规律：根据对数函数的性质转化才能得出正确答案．