Question

【题目】已知正项数列的前项和为，且和满足： ．

（1）求的通项公式；

（2）设，求的前项和；

（3）在(2)的条件下，对任意,都成立，求整数的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）整数的最大值为7.

【解析】

（1）由4Sn=（an+1）2，知4Sn-1=（an-1+1）2（n≥2），由此得到（an+an-1）（an-an-1-2）=0．从而能求出{an}的通项公式．
（2）由（1）知

，由此利用裂项求和法能求出Tn．
（3）由（2）知

从而得到 ．由此能求出任意n∈N*，Tn都成立的整数m的最大值．

：（1）∵4Sn=（an+1）2，①
∴4Sn-1=（an-1+1）2（n≥2），②
①-②得
4（Sn-Sn-1）=（an+1）2-（an-1+1）2．
∴4an=（an+1）2-（an-1+1）2．
化简得（an+an-1）（an-an-1-2）=0．
∵an＞0，∴an-an-1=2（n≥2）．
∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．
∴an=1+（n-1）2=2n-1．
（2）．
∴ ．
（3）由（2）知
∴数列{Tn}是递增数列．
∴．
∴

∴整数m的最大值是7．