Question

【题目】已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜ ）的部分图象如图所示．

（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=f（x﹣ ）﹣f（x+ ）的单调递增区间．

Answer 1

【答案】
（1）解：由图象可知，周期T=2（ ﹣ ）=π，∴ω= =2

∵点（ ，0）在函数图象上，∴Asin（2× +φ）=0

∴sin（ +φ）=0，∴ +φ=π+kπ，即φ=kπ+ ，k∈z

∵0＜φ＜

∴φ=

∵点（0，1）在函数图象上，∴Asin =1，A=2

∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+ ）

（2）解：g（x）=2sin[2（x﹣ ）+ ]﹣2sin[2（x+ ）+ ]=2sin2x﹣2sin（2x+ ）

=2sin2x﹣2（ sin2x+ cos2x）=sin2x﹣ cos2x

=2sin（2x﹣ ）

由﹣ +2kπ≤2x﹣ ≤ +2kπ，k∈z

得kπ﹣ ≤x≤kπ+

∴函数g（x）=f（x﹣ ）﹣f（x+ ）的单调递增区间为[kπ﹣ ，kπ+ ]k∈z

【解析】（1）先利用函数图象求此函数的周期，从而计算得ω的值，再将点（ ，0）和（0，1）代入解析式，分别解得φ和A的值，最后写出函数解析式即可；（2）先利用三角变换公式将函数g（x）的解析式化为y=Asin（ωx+φ）型函数，再将内层函数看做整体，置于外层函数即正弦函数的单调增区间上，即可解得函数g（x）的单调增区间