Question

【题目】已知等比数列{an}的前n项和Sn ， 首项a1=a，公比为q（q≠0且q≠1）．
（1）推导证明：Sn= ；
（2）等比数列{an}中，是否存在连续的三项：ak、ak+1、ak+2 ， 使得这三项成等差数列？若存在，求出符合条件的等比数列公比q的值，若不存在，说明理由；
（3）本题中，若a=q=2，已知数列{nan}的前n项和Tn ， 是否存在正整数n，使得Tn≥2016？若存在，求出n的取值集合；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn﹣1，①

∴qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn，②

①﹣②可得（1﹣q）Sn=a1﹣a1qn，

当q≠1时，上式两边同除以1﹣q可得Sn=

（2）解：不存在存在连续的三项：ak、ak+1、ak+2，使得这三项成等差数列．

证明如下：若ak、ak+1、ak+2成等差数列，则：

∵ak≠0∴q2﹣q+1=0

而

∴不存在存在连续的三项：ak、ak+1、ak+2，使得这三项成等差数列

（3）解：Tn=1×21+2×22+…+n×2n①

2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1 　 ②

① ﹣②得Tn=n×2n+1﹣（21+22+23+…+2n）=（n﹣1）2n+1+2

由于Tn是递增的，当n=7时 ；

当n=8时 ．

所以存在正整数n，使得Tn≥2016的取值集合为{n|n≥8，n∈N+}

【解析】（1）利用错位相减法真假求解即可．（2）不存在存在连续的三项：ak、ak+1、ak+2 ， 使得这三项成等差数列．利用等差数列的等差中项列出关系式，推出矛盾结果．（3）利用错位相减法求出前n项和，通过数列的单调性判断n=7与8时，推出结果即可．
【考点精析】掌握等比数列的基本性质是解答本题的根本，需要知道{an}为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列;{an}既是等差数列又是等比数列== {an}是各项不为零的常数列．