《2025年赢在高考假期作业必刷题高一数学》

(2025.山东日照期末)日照绿茶是山东“南茶北引”的硕果之一,因其独特的生长环境和气候条件,具有汤色黄绿明亮、栗香浓郁、回味甘醇的特点.冲泡绿茶时,需要注意水温以确保茶汤的色香味达到最佳状态.经验表明,绿茶用85℃的水泡制,等到茶水温度降至55℃时再饮用,可以产生最佳口感.某实验小组为探究在室温下,刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间,每隔1min测量一次茶水温度,得到茶水温度随时间变化的如下数据:

这组数据可以用下图表示:

设茶水温度从85℃开始,经过xmin后的温
度为y℃,为了刻画茶水温度随时间变化的
规律,现给出以下三种函数模型:①y= kx十
b(k＜0,x≥0);②y= ka^2+b(k＞0,0＜
a＜1,x≥0);③y= logα(x+k)+b(k＞0,
a＞1,x≥0).
(1)从上述三种函数模型中选出你认为最
符合实际的函数模型(不需要说明理由),
并利用前三组的数据求出相应的解析式;
(2)根据(1)中所求函数模型,求刚泡好的
绿茶达到最佳饮用口感的放置时间(精确
到0.1).(参考数据;lg2≈0.301,lg3≈
0.477)

答案： 【解析】：
本题主要考查函数模型的选择与应用，以及对数函数的运算性质。
（1）观察表格数据，茶水温度下降速度逐渐变慢，符合指数衰减函数的特性。
因此，选择函数模型$y = ka^{x} + b$（其中$k \gt 0, 0 \lt a \lt 1, x \geq 0$）进行拟合。
将前三组数据$(0, 85), (1, 79), (2, 73.6)$代入模型，
得到方程组：$\begin{cases}k + b = 85, \\ka + b = 79, \\ka^{2} + b = 73.6.\end{cases}$
解此方程组，得到$k = 60, a = \frac{9}{10}, b = 25$。
因此，函数模型的解析式为$y = 60 × \left( \frac{9}{10} \right)^{x} + 25$（其中$x \geq 0$）。
（2）为了找到茶水达到最佳饮用口感的时间，
将$y = 55$代入函数模型，得到方程$55 = 60 × \left( \frac{9}{10} \right)^{x} + 25$。
解此方程，得到$\frac{1}{2} = \left( \frac{9}{10} \right)^{x}$。
应用对数运算，得到$x = \log_{\frac{9}{10}}\frac{1}{2} = \frac{\lg\frac{1}{2}}{\lg\frac{9}{10}} = \frac{- \lg 2}{2\lg 3 - 1} = \frac{\lg 2}{1 - 2\lg 3} \approx 6.5$。
因此，刚泡好的绿茶大约需要放置$6.5$分钟才能达到最佳饮用口感。
【答案】：
(1)选择②, $y = 60 × \left( \frac{9}{10} \right)^{x} + 25$ $(x \geq 0)$；
(2)$6.5$ min。