《2025年暑假作业假期园地八年级合订本中原农民出版社》

11. 计算下列各式的值:
(1)$\sqrt {32}+\sqrt {18}-\sqrt {2}$;
(2)$4\sqrt {12}-\sqrt {\frac {1}{3}}-\sqrt {27}$;
(3)$\frac {\sqrt {3}×\sqrt {6}}{\sqrt {2}}+(π-3.14)^{0}-|1-\sqrt {2}|$;
(4)$3(π-\sqrt {3})^{0}-\frac {\sqrt {20}-\sqrt {15}}{\sqrt {5}}-(-1)^{2014}$.

答案： 【解析】：
1. 对于$\sqrt {32}+\sqrt {18}-\sqrt {2}$，先将各项根式化简：
$\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=4\sqrt{2}$，$\sqrt{18}=\sqrt{9\times2}=3\sqrt{2}$。
则$\sqrt {32}+\sqrt {18}-\sqrt {2}=4\sqrt{2}+3\sqrt{2}-\sqrt{2}=(4 + 3-1)\sqrt{2}=6\sqrt{2}$。
2. 对于$4\sqrt {12}-\sqrt {\frac {1}{3}}-\sqrt {27}$，化简各项根式：
$4\sqrt{12}=4\sqrt{4\times3}=8\sqrt{3}$，$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}$。
所以$4\sqrt {12}-\sqrt {\frac {1}{3}}-\sqrt {27}=8\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}-3\sqrt{3}=(8 - 3-\frac{1}{3})\sqrt{3}=\frac{14}{3}\sqrt{3}$。
3. 对于$\frac {\sqrt {3}×\sqrt {6}}{\sqrt {2}}+(π - 3.14)^{0}-|1-\sqrt {2}|$：
先计算$\frac{\sqrt{3}\times\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$，$\sqrt{3}\times\sqrt{6}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，则$\frac{\sqrt{3}\times\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3$。
因为任何非零数的$0$次方都为$1$，所以$(π - 3.14)^{0}=1$。
又因为$\sqrt{2}\approx1.414\gt1$，所以$\vert1 - \sqrt{2}\vert=\sqrt{2}-1$。
那么$\frac {\sqrt {3}×\sqrt {6}}{\sqrt {2}}+(π - 3.14)^{0}-|1-\sqrt {2}|=3 + 1-(\sqrt{2}-1)=3 + 1-\sqrt{2}+1=5-\sqrt{2}$。
4. 对于$3(π-\sqrt {3})^{0}-\frac {\sqrt {20}-\sqrt {15}}{\sqrt {5}}-(-1)^{2014}$：
因为$π-\sqrt{3}\neq0$，所以$(π - \sqrt{3})^{0}=1$，则$3(π-\sqrt {3})^{0}=3\times1 = 3$。
计算$\frac{\sqrt{20}-\sqrt{15}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$。
因为$(-1)^{2014}=1$。
所以$3(π-\sqrt {3})^{0}-\frac {\sqrt {20}-\sqrt {15}}{\sqrt {5}}-(-1)^{2014}=3-(2 - \sqrt{3})-1=3 - 2+\sqrt{3}-1=\sqrt{3}$。
【答案】：1.$6\sqrt{2}$ 2.$\frac{14}{3}\sqrt{3}$ 3.$5-\sqrt{2}$ 4.$\sqrt{3}$

12. 计算:$(\sqrt {2ab}+2\sqrt {\frac {b}{2a}}-\sqrt {\frac {8a}{b}})\cdot \sqrt {ab}(a＞0,b＞0)$.

答案： 【解析】：本题可根据乘法分配律将$(\sqrt {2ab}+2\sqrt {\frac {b}{2a}}-\sqrt {\frac {8a}{b}})\cdot \sqrt {ab}$展开，再分别化简各项。
- **步骤一：利用乘法分配律展开式子**
根据乘法分配律$(m+n-p)\times q = m\times q + n\times q - p\times q$，可得：
$(\sqrt {2ab}+2\sqrt {\frac {b}{2a}}-\sqrt {\frac {8a}{b}})\cdot \sqrt {ab}=\sqrt {2ab}\cdot\sqrt {ab}+2\sqrt {\frac {b}{2a}}\cdot\sqrt {ab}-\sqrt {\frac {8a}{b}}\cdot\sqrt {ab}$
- **步骤二：分别化简各项**
化简$\sqrt {2ab}\cdot\sqrt {ab}$：
根据二次根式乘法法则$\sqrt{m}\cdot\sqrt{n}=\sqrt{mn}$（$m\geq0,n\geq0$），可得：
$\sqrt {2ab}\cdot\sqrt {ab}=\sqrt{2ab\cdot ab}=\sqrt{2a^{2}b^{2}}$
因为$a\gt0,b\gt0$，所以$\sqrt{2a^{2}b^{2}} = ab\sqrt{2}$。
化简$2\sqrt {\frac {b}{2a}}\cdot\sqrt {ab}$：
同样根据二次根式乘法法则，可得：
$2\sqrt {\frac {b}{2a}}\cdot\sqrt {ab}=2\sqrt{\frac{b}{2a}\cdot ab}=2\sqrt{\frac{ab^{2}}{2}}$
因为$a\gt0,b\gt0$，所以$2\sqrt{\frac{ab^{2}}{2}} = 2\times\frac{b\sqrt{a}}{\sqrt{2}} = 2\times\frac{b\sqrt{a}\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}} = b\sqrt{2a}$。
化简$\sqrt {\frac {8a}{b}}\cdot\sqrt {ab}$：
根据二次根式乘法法则，可得：
$\sqrt {\frac {8a}{b}}\cdot\sqrt {ab}=\sqrt{\frac{8a}{b}\cdot ab}=\sqrt{8a^{2}}$
因为$a\gt0$，所以$\sqrt{8a^{2}} = 2a\sqrt{2}$。
- **步骤三：将化简后的各项代入原式并计算**
将$\sqrt {2ab}\cdot\sqrt {ab}=ab\sqrt{2}$，$2\sqrt {\frac {b}{2a}}\cdot\sqrt {ab}=b\sqrt{2a}$，$\sqrt {\frac {8a}{b}}\cdot\sqrt {ab}=2a\sqrt{2}$代入$\sqrt {2ab}\cdot\sqrt {ab}+2\sqrt {\frac {b}{2a}}\cdot\sqrt {ab}-\sqrt {\frac {8a}{b}}\cdot\sqrt {ab}$，可得：
$ab\sqrt{2}+b\sqrt{2a}-2a\sqrt{2}$
【答案】：$ab\sqrt{2}+b\sqrt{2a}-2a\sqrt{2}$

13. 某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机,这两种手机的进价和售价如下表所示:
| |甲|乙|
|----|----|----|
|进价/(元/部)|4000|2500|
|售价/(元/部)|4300|3000|
该商场计划购进两种手机若干部,共需15.5万元,预计全部销售后可获毛利润共2.1万元.[毛利润=(售价一进价)×销售量]
(1)该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部?
(2)通过市场调研,该商场决定在原计划的基础上,减少甲种手机的购进数量,增加乙种手机的购进数量.已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍,而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元,该商场怎样进货,使全部销售后获得的毛利润最大? 请求出最大毛利润.

答案： 【解析】：
1. 设商场计划购进甲种手机$x$部，乙种手机$y$部。
已知进价甲为$4000$元/部，乙为$2500$元/部，共需$15.5$万元（$155000$元），可列方程$4000x + 2500y=155000$，化简得$8x + 5y = 310$。
甲的毛利润为$(4300 - 4000)=300$元/部，乙的毛利润为$(3000 - 2500)=500$元/部，预计全部销售后可获毛利润共$2.1$万元（$21000$元），可列方程$300x+500y = 21000$，化简得$3x + 5y = 210$。
用$8x + 5y = 310$减去$3x + 5y = 210$可得：
$(8x + 5y)-(3x + 5y)=310 - 210$，即$8x+5y - 3x - 5y = 100$，$5x = 100$，解得$x = 20$。
把$x = 20$代入$3x + 5y = 210$，得$3\times20+5y = 210$，$60 + 5y = 210$，$5y = 150$，解得$y = 30$。
2. 设甲种手机减少$a$部，则乙种手机增加$2a$部。
原计划购进甲$20$部，乙$30$部，那么现在购进甲$(20 - a)$部，购进乙$(30 + 2a)$部。
已知用于购进这两种手机的总资金不超过$16$万元（$160000$元），可列不等式$4000(20 - a)+2500(30 + 2a)\leq160000$。
展开式子得$80000-4000a + 75000+5000a\leq160000$。
合并同类项得$(-4000a + 5000a)+(80000 + 75000)\leq160000$，即$1000a+155000\leq160000$。
移项得$1000a\leq160000 - 155000$，$1000a\leq5000$，解得$a\leq5$。
设全部销售后获得的毛利润为$W$元，$W = 300(20 - a)+500(30 + 2a)$。
展开式子得$W = 6000-300a+15000 + 1000a$。
合并同类项得$W=( - 300a+1000a)+(6000 + 15000)=700a + 21000$。
因为$700\gt0$，所以$W$随$a$的增大而增大。
又因为$a\leq5$，所以当$a = 5$时，$W$有最大值。
此时$W = 700\times5+21000=3500 + 21000 = 24500$（元），购进甲种手机$20 - 5 = 15$部，购进乙种手机$30+2\times5 = 40$部。
【答案】：
1. 该商场计划购进甲种手机$20$部，乙种手机$30$部。
2. 当购进甲种手机$15$部，乙种手机$40$部时，全部销售后获得的毛利润最大，最大毛利润为$24500$元。