《2025年万唯中考大小卷七年级数学下册湘教版》

26. (10分)(中考新考法·综合与实践——操作探究)【操作过程】图①是一个长为$2a$，宽为$2b$的长方形，先沿图中虚线用剪刀剪出四个大小形状完全相同的小长方形，再按图②的方式拼成一个大正方形.
【探究发现】
(1)请试着用两种不同方法表示图②中阴影部分面积：
方法1：__________________，
方法2：__________________；
(2)由(1)可以得到一个等式为__________________；
【类比应用】
(3)若$m + n = 5$，$m^{2} + n^{2} = 20$，求$(m - n)^{2}$的值；
【拓展迁移】
(4)如图③，张伯伯打算在长方形菜地$ABCD$旁边，分别以$AB$，$AD$为边向外用篱笆围出正方形$ABEF$与正方形$ADGH$两块新菜地(不包含长方形$ABCD$的边长).已知张伯伯一共用了210 m长的篱笆，两块新菜地的面积和为$2500 m^{2}$，求长方形菜地$ABCD$的面积.

答案： 解：
(1)(a - b)²；(a + b)² - 4ab； (2分)
【解法提示】方法1：直接根据正方形面积公式得(a - b)²；方法2：根据阴影部分面积=大正方形面积 - 四个小长方形面积和，即(a + b)² - 4ab.
(2)(a + b)² - 4ab = (a - b)²； (3分)
【解法提示】由阴影部分的面积相等可得(a + b)² - 4ab = (a - b)².
(3)由
(2)可得(m - n)² = (m + n)² - 4mn，因为m + n = 5，m² + n² = 20，所以(m + n)² = m² + 2mn + n² = 25，所以2mn = 5，所以4mn = 10，所以(m - n)² = 25 - 10 = 15； (6分)
(4)设AB = x m，AD = y m，则3x + 3y = 210，长方形ABCD的面积为xy，所以x + y = 70.因为x² + y² = 2500，所以2xy=(x + y)²-(x² + y²)=70² - 2500 = 2400，所以xy = 1200，故长方形菜地ABCD的面积为1200 m². (10分)