同步练习江苏高中数学苏教版
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10. 已知集合$A = \{x|a - 1 ＜ x ＜ a + 1,x\in\mathbf{R}\}$，$B = \{x|1 ＜ x ＜ 5,x\in\mathbf{R}\}$，则下列选项中满足$A\cap B=\varnothing$的实数$a$的取值范围可能是（
BCD
）
A. $\{a|0\leqslant a\leqslant6\}$ B. $\{a|a\leqslant2$或$a\geqslant6\}$ C. $\{a|a\leqslant0\}$ D. $\{a|a\geqslant8\}$
答案：BCD
解析：$A\cap B=\varnothing\Rightarrow a + 1\leqslant1$或$a - 1\geqslant5\Rightarrow a\leqslant0$或$a\geqslant6$，B、C、D满足.
11. 当非空数集$F$满足条件“若$a$，$b\in F$，则$a + b$，$a - b$，$ab\in F$，且当$b\neq0$时，$\dfrac{a}{b}\in F$”时，称$F$为一个数域，则下列说法中正确的有（
ABD
）
A. 0是任何数域的元素 B. 若数域$F$有非零元素，则$234\in F$ C. 集合$P = \{x|x = 3k,k\in\mathbf{Z}\}$为数域 D. 有理数集为数域
答案：ABD
解析：A. 取$a = b$，则$0 = a - b\in F$；B. 非零元素$a$，则$1=\dfrac{a}{a}\in F$，进而整数都属于$F$；C. $P$中$\dfrac{3}{3}=1\notin P$，不是数域；D. 有理数集满足数域定义，A、B、D正确.
12. 已知全集$U = \{2,0,3 - a^2\}$，子集$P = \{2,a^2 - a - 2\}$，且$\complement_U P = \{-1\}$，则实数$a$的值为
2
。
答案：2
解析：$\complement_U P = \{-1\}\Rightarrow -1\in U$且$-1\notin P$，所以$3 - a^2=-1\Rightarrow a^2 = 4\Rightarrow a=\pm2$。当$a = 2$时，$a^2 - a - 2 = 0\in P$；当$a=-2$时，$a^2 - a - 2 = 4\notin U$，故$a = 2$.
13. 已知集合$A = \{x|x^2 - 8x + 15 = 0\}$，$B = \{x|ax - 1 = 0\}$。若$B\subseteq A$，则实数$a$组成的集合$C=$
$\left\{0,\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{5}\right\}$
。
答案：$\left\{0,\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{5}\right\}$
解析：$A = \{3,5\}$，$B\subseteq A$。当$B=\varnothing$时，$a = 0$；当$B = \{3\}$时，$a=\dfrac{1}{3}$；当$B = \{5\}$时，$a=\dfrac{1}{5}$，所以$C = \left\{0,\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{5}\right\}$.
14. 某班有学生56人，同时参加数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加数学小组和语文小组的学生有25人。已知该班学生每人至少参加1个小组，那么该班学生中只参加数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的学生最多有______人。
答案：21
解析：设只参加数学、英语、语文小组的人数分别为$x$，$y$，$z$，三门都参加的人数为$m$。则$x + y + z + (32 - m)+(22 - m)+(25 - m)+m = 56\Rightarrow x + y + z = 56 - 79 + 2m = 2m - 23$。要$x + y + z$最大，$m$最大，且$32 - m\geqslant0$，$22 - m\geqslant0$，$25 - m\geqslant0\Rightarrow m\leqslant22$，所以$x + y + z = 2×22 - 23 = 21$
15. 已知集合$A = \{2,x,y\}$，$B = \{2x,2,y^2\}$。若$A = B$，求实数$x$，$y$的值，并写出集合$A$的所有子集。
答案：$\begin{cases}x = 0,\\y = 1\end{cases}$或$\begin{cases}x=\dfrac{1}{4},\\y=\dfrac{1}{2}\end{cases}$；集合$A$的所有子集为$\varnothing$，$\{2\}$，$\{0\}$，$\{1\}$，$\{2,0\}$，$\{2,1\}$，$\{0,1\}$，$\{2,0,1\}$或$\varnothing$，$\{2\}$，$\left\{\dfrac{1}{4}\right\}$，$\left\{\dfrac{1}{2}\right\}$，$\left\{2,\dfrac{1}{4}\right\}$，$\left\{2,\dfrac{1}{2}\right\}$，$\left\{\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{2}\right\}$，$\left\{2,\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{2}\right\}$
解析：$A = B$，则$\begin{cases}x = 2x,\\y = y^2\end{cases}$或$\begin{cases}x = y^2,\\y = 2x\end{cases}$。解得$\begin{cases}x = 0,\\y = 0\end{cases}$（舍，元素重复）或$\begin{cases}x = 0,\\y = 1\end{cases}$；或$\begin{cases}x=\dfrac{1}{4},\\y=\dfrac{1}{2}\end{cases}$。子集按集合元素写出.
16. 已知集合$A = \{x|x^2 + ax + 12 = 0\}$，$B = \{x|x^2 + 3x + 2b = 0\}$，且$A\cap B = \{2\}$，$C = \{2,-3\}$。
（1）求实数$a$，$b$的值及集合$A$，$B$；
（2）求$(A\cup B)\cap C$。
答案：（1）$a=-8$，$b=-5$，$A = \{2,6\}$，$B = \{2,-5\}$
解析：$2\in A\Rightarrow4 + 2a + 12 = 0\Rightarrow a=-8$，$A = \{2,6\}$；$2\in B\Rightarrow4 + 6 + 2b = 0\Rightarrow b=-5$，$B = \{2,-5\}$；
（2）$\{2\}$
解析：$A\cup B = \{-5,2,6\}$，$C = \{2,-3\}$，则$(A\cup B)\cap C = \{2\}$。
