Question

【题目】已知，直线，点为平面内一点，连接与.

（1）如图1，点在直线、之间，若，，求的度数.

（2）如图2，点在直线、之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由.

（3）如图3，点在直线下方，与的角平分线相交于点，直接写出与的数量关系.

Answer 1

【答案】（1）∠APC=80°；（2）∠AKC=∠APC；（3）∠AKC=∠APC.

【解析】

（1）先过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，再根据∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP进行计算即可；

（2）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，进而得到∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK+∠DCK=∠BAP+∠DCP=（∠BAP+∠DCP）=∠APC，进而得到∠AKC=∠APC；

（3）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，进而得到∠AKC=∠AKE-∠CKE=∠BAK-∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP-∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK-∠DCK=∠BAP-∠DCP=（∠BAP-∠DCP）=∠APC，进而得到∠AKC=∠APC．

(1)如图1,过P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°；

(2)∠AKC=∠APC.

理由：如图2,过K作KE∥AB，

∵AB∥CD，

∴KE∥AB∥CD，

∴∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，

∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，

过P作PF∥AB，

同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，

∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，

∴∠BAK+∠DCK=∠BAP+∠DCP= (∠BAP+∠DCP)= ∠APC，

∴∠AKC=∠APC；

(3)∠AKC=∠APC.

理由：如图3,过K作KE∥AB，

∵AB∥CD，

∴KE∥AB∥CD，

∴∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，

∴∠AKC=∠AKE∠CKE=∠BAK∠DCK，

过P作PF∥AB，

同理可得，∠APC=∠BAP∠DCP，

∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，

∴∠BAK∠DCK=∠BAP∠DCP=(∠BAP∠DCP)=∠APC，

∴∠AKC=∠APC.