Question

【题目】在△ABC中，以AB为斜边，作直角△ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB=90°．

（1）如图1，若AB=AC，∠DBA=60°，AD=7 ，点P、M分别为BC、AB边的中点，连接PM，求线段PM的长；
（2）如图2，若AB=AC，把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，连接ED并延长交BC于点P，求证：BP=CP；
（3）如图3，若AD=BD，过点D的直线交AC于点E，交BC于点F，EF⊥AC，且AE=EC，请直接写出线段BF、FC、AD之间的关系（不需要证明）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1中，

∵∠ADB=90°，∠DBA=60°，AD=7 ，

∴∠BAD=30°，

∴AB=2BD，设BD=a，则AB=2a，

∵AB2=BD2+AD2，

∴（2a）2=a2+（7 ）2，

∴a=7，

∴AB=AC=14，

∵AM=MB，PB=PC，

∴PM= AC=7

（2）

证明：如图2中，在ED上截取EQ=DP，连接CQ．

∵AD=AE，

∴∠1=∠2，

∵∠ADB=∠AEC=90°，

∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，

∴∠3=∠4，

∵BD=EC，

∴△EQC≌△DPB，

∴CQ=BP，∠QCE=∠DBP，

∵∠CQP=∠3+∠QCE，∠CPQ=∠4+∠DBP，

∴∠CQP=∠CPQ，

∴CQ=PC，

∴PB=PC．

（3）

解：结论：2AD2=FB2+CF2．

理由：如图3中，连接AF交BD于N，连接CD延长至H．

∵EA=EC，EF⊥AC，

∴DA=DC，

∵∠ADB=90°，DA=DB，

∴DA=DC=DB，∴∠DBA=∠DAB=45°，AB= AD，

∴∠DAC=∠DCA，∠DBC=∠DCB，

∵∠ADH=∠DAC+∠ACD，∠BDH﹣∠DBC+∠DCB，

∴∠ADB=2∠ACD+2∠DCB=90°，

∴∠ACF=45°，

∵FA=FC，

∴∠FAC=∠FCA=45°，

∴∠AFC=90°

∵∠AND=∠BNF，∠ADN=∠BFN=90°，

∴△AND∽△BNF，

∴ ，

∴ ，∵∠ANB=∠DNF，

∴△ANB∽△DNF，

∴∠DFN=∠ABD=45°，

∵FE⊥AC，AE=EC，

∴FA=FC，∠AFE=∠CFE=45°，

∴∠AFC=∠AFB=90°，

∴AB2=BF2+AF2，

∴2AD2=BF2+CF2

【解析】（1）根据直角三角形30度角性质求出AB，再根据三角形中位线定理即可求出PM．（2）如图2中，在ED上截取EQ=DP，连接CQ．首先证明△EQC≌△DPB，推出QC=PB，再证明QC=PC即可解决问题．（3）结论：2AD2=FB2+CF2 ． 如图3中，连接AF交BD于N．由△AND∽△BNF，推出 ，推出 ，又∠ANB=∠DNF，推出△ANB∽△DNF，从∠DFN=∠ABD=45°，在RtABF中利用勾股定理即可证明．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用勾股定理的概念和三角形中位线定理的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．