Question

【题目】如图，在中，点是线段上一点,，.

(1)若是的高线，且，求的长.

(2)若是的角平分线，，求出的面积.

(3)填空：若是的中线，设长为，则的取值范围______.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的面积为；（3）.

【解析】

（1）过点作的垂线，与相交于点，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得 ，根据即可求得BC的长；（2）过点作的垂线，与交于点，过点作的垂线，与交于点，根据角平分线的性质定理可得，设，根据三角形的面积公式，结合已知条件可得，解方程求得，由此即可求得的面积；（3）延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，先证明△ABD≌△ECD，在△AEC中，由三角形的三边关系定理即可求解．

（1）过点作的垂线，与相交于点

在中，由勾股定理得

在中，由勾股定理得

综上所述：.

（2）过点作的垂线，与交于点，过点作的垂线，与交于点，

是的角平分线

设

∴解得

综上所述：的面积为

（3）延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，

∵BD=CD，DE=AD，∠ADB=∠EDC，

∴△ABD≌△ECD，

∴CE=AB，

∵AB= CE=4，AC=3，

设AD=m，则AE=2m，

∴4-3＜2m＜4+3，

∴0.5＜m＜3.5，

故答案为：0.5＜m＜3.5．