Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．
（1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：H为CE的中点；
（3）若BC=10，cosC= ，求AE的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：DH与⊙O相切．理由如下：

连结OD、AD，如图，

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=CD，

而AO=BO，

∴OD为△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∵DH⊥AC，

∴OD⊥DH，

∴DH为⊙O的切线

（2）证明：连结DE，如图，

∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形，

∴∠DEC=∠B，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠DEC=∠C，

∵DH⊥CE，

∴CH=EH，即H为CE的中点

（3）解：在Rt△ADC中，CD= BC=5，

∵cosC= = ，

∴AC=5 ，

在Rt△CDH中，∵cosC= = ，

∴CH= ，

∴CE=2CH=2 ，

∴AE=AC﹣CE=5 ﹣2 =3 ．

【解析】（1）连结OD、AD，如图，先利用圆周角定理得到∠ADB=90°，则根据等腰三角形的性质得BD=CD，再证明OD为△ABC的中位线得到OD∥AC，加上DH⊥AC，所以OD⊥DH，然后根据切线的判定定理可判断DH为⊙O的切线；（2）连结DE，如图，有圆内接四边形的性质得∠DEC=∠B，再证明∠DEC=∠C，然后根据等腰三角形的性质得到CH=EH；（3）利用余弦的定义，在Rt△ADC中可计算出AC=5 ，在Rt△CDH中可计算出CH= ，则CE=2CH=2 ， 然后计算AC﹣CE即可得到AE的长．