Question

【题目】如图，直线AB经过x轴上的点M，与反比例函数y= （x＞0）的图象相交于点A（1，8）和B（m，n），其中m＞1，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P．

（1）求k的值；
（2）若AB=2BM，求△ABD的面积；
（3）若四边形ABCD为菱形，求直线AB的函数解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A（1，8）在y= 上，
∴k=8.

（2）解：∵A（1，8），B（m，n），
∴AP=8﹣n，AC=8，
∵AB=2BM，

∴ =，

∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，
∴BP∥CM，

∴==，
即= ，
∴n=，

把B（m，）代入反比例函数解析式可得m=3，
∴BD=3，

∴S△ABD=BD·AP=×3×（8﹣）=8；

（3）解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BP=DP，
∴点P坐标为（m，n），
∵PA=PC，
∴P（1，4），
∴ m=1，n=4，
∴m=2，n=4，
∴B（2，4），
设直线AB解析式为y=sx+b，

，
∴，

∴直线AB的解析式为y=﹣4x+12．

【解析】（1）将点A（1，8）坐标代入y= 即可得出k值.
（2）解：根据A（1，8），B（m，n），得出 =，由BP∥CM得==，从而求出n=，将点B（m，）代入反比例函数解析式可得m=3，即BD=3，再根据S△ABD=BD·AP即可得出答案.
（3）由菱形性质得BP=DP，即得点P（m，n），由等腰三角形性质得P（1，4），从而求出m=2，n=4，即B（2，4）；再根据待定系数法求出
直线AB解析式.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用确定一次函数的表达式和三角形的面积的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法；三角形的面积=1/2×底×高．